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怎样证明正弦定理?

发布日期:2024-04-28 02:07:46

正弦定理(Sine Theorem)又称为正弦公式或正弦规,是初中数学中的一个重要定理,在初中数学和高中数学的教材中都有详细的介绍。

正弦定理的核心思想是,正弦值和直角三角形的对边之间存在等比关系。那么怎样证明这个定理呢?以下是证明过程:

(1)设 △ABC 为一任意三角形,以 AB 和 AC为边作两个高,垂足分别为 D 和 E。

(2)则 △ABD 和 △AEC 为两个直角三角形,根据勾股定理,可得:

AB²=AD² BD²,AC²=AE² CE²。

(3)观察上方的图形,可以发现 △ABD 和 △AEC 有一条公共边 AE,于是将上式相减,得:

AB²-AC²=AD²-BD²-AE² CE²。

(4)由于 AE 和 AD 是三角形 △ABC 的两条高,所以有:

AD² AE²=DE² 2·AE·ED=BC²。

(5)将上式带入(3),则有:

AB²-AC²=BD²-CE² BC²-2·AE·ED。

(6)又因为 △ABC 和 △ADB 以及 △AEC 与△ABC 是相似的,根据相似比例的性质,可以得出:

AB/BC=BD/AD,AC/BC=CE/AE,BD/AD=CE/AE。

(7)将上式代入(6),则有:

AB²-AC²=BC²·(BD²-CE²)/(AD·AE)。

(8)由于 BD/BC=sin(A),CE/BC=sin(A),AD/AB=sin(C),AE/AC=sin(B),因此有:

AB²-AC²=BC²·(sin²A)/(sinB·sinC)。

(9)上式即为正弦定理,证毕。

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